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复杂度分析(上)

如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？

数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题，即，如何让代码运行得更快，如何让代码更省存储空间。

事后统计法

事后统计法：把代码跑一遍，通过统计、监控，就能得到算法执行的时间和占用的内存大小。

局限性：

• 测试结果非常依赖测试环境，相同代码不同机子，测试结果不一致。
• 测试结果受数据规模的影响很大，同一个排序算法对有序度不同的数据测试结果不一致。

大O表示法

算法的执行效率，粗略地讲，就是算法代码执行的时间。但是，如何在不运行代码的情况下，用“肉眼”得到一段代码的执行时间呢？

这里有段非常简单的代码，求 1,2,3…n 的累加和。现在，我就带你一块来估算一下这段代码的执行时间。

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     sum = sum + i;
   }
   return sum;
 }

从 CPU 的角度来看，这段代码的每一行都执行着类似的操作：读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样，为 unit_time。在这个假设的基础之上，这段代码的总执行时间是多少呢？

第 2、3 行代码分别需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 4、5 行都运行了 n 遍，所以需要 2nunit_time 的执行时间，所以这段代码总的执行时间就是 (2n+2)unit_time。可以看出来，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。

按照这个分析思路，我们再来看这段代码。

 int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }

我们依旧假设每个语句的执行时间是 unit_time。那这段代码的总执行时间 T(n) 是多少呢？

第 2、3、4 行代码，每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 5、6 行代码循环执行了 n 遍，需要 2n unit_time 的执行时间，第 7、8 行代码循环执行了 $n^2$遍，所以需要 $2n^2$ unit_time 的执行时间。所以，整段代码总的执行时间 T(n) = ($2n^2+2n+3$)*unit_time。

尽管我们不知道 unit_time 的具体值，但是通过这两段代码执行时间的推导过程，我们可以得到一个非常重要的规律，那就是，所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。

我们可以把这个规律总结成一个公式。注意，大 O 就要登场了！

$$T(n)=O(f(n))$$

具体解释一下这个公式。其中，T(n) 我们已经讲过了，它表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

所以，第一个例子中的 T(n) = O(2n+2)，第二个例子中的 T(n) = O($2n^2+2n+3$)。这就是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度，就可以记为：T(n) = O(n)； T(n) = O($n^2$)。

时间复杂度分析

• 只关注循环执行次数最多的一段代码

   int cal(int n) {
     int sum = 0;
     int i = 1;
     for (; i <= n; ++i) {
       sum = sum + i;
     }
     return sum;
   }

其中第 2、3 行代码都是常量级的执行时间，与 n 的大小无关，所以对于复杂度并没有影响。循环执行次数最多的是第 4、5 行代码，所以这块代码要重点分析。前面我们也讲过，这两行代码被执行了 n 次，所以总的时间复杂度就是 O(n)。

• 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度

int cal(int n) {
   int sum_1 = 0;
   int p = 1;
   for (; p < 100; ++p) {
     sum_1 = sum_1 + p;
   }

   int sum_2 = 0;
   int q = 1;
   for (; q < n; ++q) {
     sum_2 = sum_2 + q;
   }

   int sum_3 = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1; 
     for (; j <= n; ++j) {
       sum_3 = sum_3 +  i * j;
     }
   }

   return sum_1 + sum_2 + sum_3;
 }

第一段的时间复杂度是多少呢？这段代码循环执行了 100 次，所以是一个常量的执行时间，跟 n 的规模无关。

这里我要再强调一下，即便这段代码循环 10000 次、100000 次，只要是一个已知的数，跟 n 无关，照样也是常量级的执行时间。当 n 无限大的时候，就可以忽略。尽管对代码的执行时间会有很大影响，但是回到时间复杂度的概念来说，它表示的是一个算法执行效率与数据规模增长的变化趋势，所以不管常量的执行时间多大，我们都可以忽略掉。因为它本身对增长趋势并没有影响。

那第二段代码和第三段代码的时间复杂度是多少呢？答案是 O(n) 和 O(n2)。

综合这三段代码的时间复杂度，我们取其中最大的量级。所以，整段代码的时间复杂度就为 O(n2)。也就是说：总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。那我们将这个规律抽象成公式就是：

$$T1(n)=O(f(n))\\ T2(n)=O(g(n))\\ T(n)=T1(n)+T2(n)=max(O(f(n)),O(g(n)))=O(max(f(n),f(n)))$$

• 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

  可以把乘法法则看成是嵌套循环

int cal(int n) {
   int ret = 0; 
   int i = 1;
   for (; i < n; ++i) {
     ret = ret + f(i);
   } 
 } 

 int f(int n) {
  int sum = 0;
  int i = 1;
  for (; i < n; ++i) {
    sum = sum + i;
  } 
  return sum;
 }

我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作，那第 4～6 行的时间复杂度就是，T1(n) = O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作，它的时间复杂度是 T2(n) = O(n)，所以，整个 cal() 函数的时间复杂度就是，$T(n) = T1(n) * T2(n) = O(n*n) = O(n^2)$。

$$T1(n)=O(f(n))\\ T2(n)=O(g(n))\\ T(n)=T1(n)*T2(n)=O(f(n))*O(g(n))=O(f(n)*g(n))$$

几种常见时间复杂度实例分析

对于刚罗列的复杂度量级，我们可以粗略地分为两类，多项式量级和非多项式量级。其中，非多项式量级只有两个：$O(2^n) 和 O(n!)$。当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此，关于 NP 时间复杂度我就不展开讲了。

我们主要来看几种常见的多项式时间复杂度。

$O(1)$

首先必须明确一个概念，O(1) 只是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不是指只执行了一行代码。比如这段代码，即便有 3 行，它的时间复杂度也是 O(1），而不是 O(3)。只要代码的执行时间不随 n 的增大而增长，这样代码的时间复杂度我们都记作 O(1)。或者说，一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

 int i = 8;
 int j = 6;
 int sum = i + j;

$O(logn)、O(nlogn)$

对数阶时间复杂度非常常见，同时也是最难分析的一种时间复杂度。我通过一个例子来说明一下。

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

通过 $2^x=n$ 求解 x 这个问题我们想高中应该就学过了，我就不多说了。$x=\log_2n$，所以，这段代码的时间复杂度就是 $O(\log^2n)$。

现在，我把代码稍微改下，你再看看，这段代码的时间复杂度是多少？

 i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 3;
 }

这段代码的时间复杂度为 $O(\log_3n)$。

我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)，$\log_3n=\log_32*\log_2n$，所以$O(\log_3n) = O(C*\log_2n)$，其中$C=\log_32$是一个常量。基于我们前面的一个理论：在采用大 O 标记复杂度的时候，可以忽略系数，即 O(C*f(n)) = O(f(n))。所以，$O(\log_2n)$就等于 $O(\log_3n)$。因此，在对数阶时间复杂度的表示方法里，我们忽略对数的“底”，统一表示为 $O(\log n)$。

那$O(n \log n)$ 就很容易理解了。还记得我们刚讲的乘法法则吗？如果一段代码的时间复杂度是 $O(\log n)$，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是$O(n \log n)$ 了。而且，$O(n \log n)$也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是$O(n \log n)$。

$O(m+n)、O(m*n)$

代码的复杂度由两个数据的规模来决定。

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}

从代码中可以看出，m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。

针对这种情况，原来的加法法则就不正确了，我们需要将加法规则改为：T1(m) + T2(n) = O(f(m) + g(n))。但是乘法法则继续有效：T1(m)T2(n) = O(f(m) f(n))。

空间复杂度分析

时间复杂度的全称是渐进时间复杂度，表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下，空间复杂度全称就是渐进空间复杂度（asymptotic space complexity），表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。

void print(int n) {
  int i = 0;
  int[] a = new int[n];
  for (i; i <n; ++i) {
    a[i] = i * i;
  }

  for (i = n-1; i >= 0; --i) {
    print out a[i]
  }
}

跟时间复杂度分析一样，我们可以看到，第 2 行代码中，我们申请了一个空间存储变量 i，但是它是常量阶的，跟数据规模 n 没有关系，所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组，除此之外，剩下的代码都没有占用更多的空间，所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。

我们常见的空间复杂度就是 $O(1)、O(n)、O(n^2 )$，像$O(\log n)、O(n\log n)$这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且，空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。所以，对于空间复杂度，掌握刚我说的这些内容已经足够了。

内容小结

基础复杂度分析的知识到此就讲完了，总结一下。

复杂度也叫渐进复杂度，包括时间复杂度和空间复杂度，用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系，可以粗略地表示，越高阶复杂度的算法，执行效率越低。常见的复杂度并不多，从低阶到高阶有：$O(1)、O(\log n)、O(n)、O(n\log n)、O(n^2 )$。等学完整个专栏之后，就会发现几乎所有的数据结构和算法的复杂度都跑不出这几个。

$$O(1)<O(\log n)<O(n)<O(n\log n)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)$$